在数学界，百年未解的猜想之一被推倒。来自Anthropic的数学家Levent Alpöge与Claude展开合作，成功证明了困扰数学家们超过一百年的Carathéodory猜想，同时也否定了Loewner指数猜想。这一成就的相关PDF文档在数学界流传一周后，现已正式公布。这并非Alpöge与Claude的首次联合突破，早在今年的世界杯期间，Alpöge便利用Claude提出了一个反例，挑战了三维雅可比猜想，引发了广泛关注。

那么，Carathéodory猜想究竟是什么呢？它最早由德国数学家Hans Ludwig Hamburger于1924年提出，并以他的博士生导师，希腊数学家Constantin Carathéodory的名字命名。Carathéodory猜想指出，在三维欧几里得空间中，任意一个光滑且凸闭合的曲面至少会存在两个脐点。脐点的理解为曲面上各个方向的弯曲程度相同的点。在三维微分几何中，这些脐点具有局部球形的特征，所有方向的法向曲率一致，使得两个主曲率相等，因此每个切向量均为主方向。比如，球面上每个点都是脐点，因其朝任意方向触摸的弧度相同。Carathéodory提出，任何足够光滑的凸面，无论如何变形，脐点的数量不会少于两个。

从直觉上看，这一猜想似乎是合理的：球体有无限个脐点，而椭球则有两个。尽管一百年来，数学家们不断试图构建只含有一个脐点的光滑凸体，却无一成功。与此并行的是Loewner猜想，提出了脐点的指数不超过1的理论。这两个猜想犹如一对锁紧密相扣，封锁了整片微分几何的领域。然而，破解的时刻已经来临。

Levent Alpöge与John-Paul Smith通过特定的构造找到了一个极具新意的反例。根据他们的定义，一系列函数g_k中，当k=2时的g₂对应于球面的支持函数，从而形成在原点拥有一个脐点，且其指数为2。需要注意的是，这一指数直接违背了Loewner猜想所设定的上限1。更为重要的是，由于指数的衰减特性，g₂在数学上也具备C∞光滑性，满足Carathéodory猜想的条件。然而，反例中却仅有一个脐点，这直接使得Carathéodory猜想被证伪，而Loewner指数猜想由于存在指数为2的脐点也随之倒塌。通过一个明确且可验证的反例，浓厚气氛中的两个百年猜想陨落。

在数学研究领域，反驳一个猜想只需提供一个反例，但找到这样一个反例的难度往往比证明猜想本身更为困难。回顾近期几个月，Claude在黎曼猜想领域也创造了新的记录，将零点比例的下限从41.6%提高至67.2%，而在过去的37年里，人类的进展仅为0.8%。OpenAI集中发布了十项关于数学和理论计算机科学的最新进展，Alpöge连续通过Claude否定了多个经典猜想。值得一提的是，一位新晋菲尔兹奖得主也加入了OpenAI，新的研究趋势逐渐显现。

如今，人工智能不仅是数学家的工具，它逐渐成为人类直觉的“补充者”，在理性看似薄弱的地方通过穷尽与构造能力开辟新路径。百年猜想并非被某位杰出的人类智慧彻底击碎，而是通过一种新的人机协作模式完成的。这种模式的发展预示着更多猜想将会被攻克，接下来倒下的又将是哪个呢？